数学の恒等式とは、恒等式、不等式の証明の解き方と解説


数学の恒等式とは

x2 + x – 2 = 0

の解は、x = 1, -2です。

ということは、この式はxの値が1または-2のときだけ成立するということです。
逆に言えば、それ以外の値のときは、この等式は成立しません。

下記の等式はどうでしょう。

x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2)

この等式は、左辺を因数分解したものです。
ですから、xにどんな数を入れても成立します。
このように、常に成立する等式を恒等式といいます。

式の値をかえずに別の形で表したい。そのようなときに、恒等式かどうかの証明が大切になります。

一方、不等式では、その条件を満たすかどうかが問題になります。
例えば、「三角形の2辺の長さの和は、他の一辺より長い」という不等式は、有名です。
これを「三角不等式」といいます。
3つの数を与えたときに、その長さの辺をもつ三角形をつくれるかどうかは、この三角不等式を満たすかどうかでわかります。


恒等式、不等式の証明の解き方と解説

・次の式が恒等式になるように定数a,b,cの値を決めましょう。

①3x2 + ax + 2 = (2x + b)(cx + 1)
②2x – 1 = a(x + 1)(x – 2) + b(x – 1)(x – 2) + c(x – 1)(x + 1)


[解き方]

①右辺を展開します。
右辺 = 2cx2 + (bc + 2)x + b
左辺 = 3x2 + ax + 2
対応する係数を比較して、
2c = 3,a = bc + 2,b = 2
c = 3/2,b=2から、a = 2 × 3/2 + 2 = 5

②2x – 1 = a(x + 1)(x – 2) + b(x – 1)(x – 2) + c(x – 1)(x + 1)
①と同じように右辺を展開して、係数を比べてもいいのですが、ここでは別の解き方をしてみます。
恒等式ということは、xにどんな値を入れても等式が成り立つということです。
式の特徴を見ると、xが1,-1,2のとき、右辺の項が、それぞれ2つ消えます。

x = 1のとき、1 = -2a + 0・b + 0・c = -2a
・a = -1/2
x = -1のとき、-3 = 0・a + 6b + 0・c = 6b
・b = -1/2
x = 2のとき、3 = 0・a + 0・b + 3c
・c = 1



・次の不等式を証明してみましょう。

①a2 + b2 ≧ 2ab
②a > b > 0のとき a2 > b2


[解き方]

①( )2の式をつくります。
左辺 – 右辺 = a2 + b2 – 2ab = (□)2 ≧ 0
等号は□のときのみ成立。

②左辺 – 右辺 > 0 を言います。
左辺 – 右辺 = a2 – b2
      = (a – b)(a + b)
条件よりa – b > □、 a + b>□
よって、(a – b)(a + b) > 0


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です